[확률,조합 수학] ♡ 같은 반이 될 확률에 관한 잘못된 계산 방식

[확률,조합 수학] ♡ 같은 반이 될 확률에 관한 잘못된 계산 방식




5반이 있는데 친구랑 같은 반이 될 확률이 궁금해요! 라고 묻는 질문을 자주 볼 수 있습니다.
이 때 5반이므로 같은 반이 될 확률은 1/5 이라고 하는 글을 많이 볼 수 있어서 안타깝습니다.




같은 반이 될 확률을 구하는 법을 알려드리겠습니다.




차례
♡ a가 친구 b,c와 같은 반이 될 확률
♡ a가 친구 b는 같은 반이 되고, 싫어하는 x는 같은 반이 되지 않을 확률






♡ a가 친구 b,c와 같은 반이 될 확률




한 반에 30명이고, 5반이 있습니다.




학생 a가 특정한 어느 한 반에 속할 확률은 30/150입니다.




특정한 반도 5반 중 어느 한 반이므로 1/5이고,
30/150 = 1/5인데 왜 처음부터 1/5이라고 하지 않냐고
하실 수도 있습니다.




150명이 아니고 153명이라서 세 반은 31명일 때,
a가 학생수가 31명인 특정한 어떤 반 속할 확률도 1/5일까요?




답은 31/153입니다.




a 그 반에 속할 기회를 31번 가지며, a가 여러 반에 속할 경우의 수는 153가지이기
때문입니다.




아니, 반은 5개 뿐인데 153가지는 도데체 무엇이냐고 하실 수 있습니다.




특정한 A반 자리 31 자리
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B반
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C,D,E반의 자리의 합까지 다 해서 153자리가 있고,
A반의 자리는 31이며, 학생 a가 A반의 자리에 앉을 확률은
31/153입니다.




단, 어느 자리에 앉는 지의 순서는 무시하고 계산합니다.
순열로 계산해도 결론적으로 31/153이 나오기 때문입니다.


단순히 생각하면 153개의 제비 중에서 당첨제비가 31개 있다면
당첨제비를 뽑을 확률은 31/153 이다! 라고 생각하면 이해하기
쉬울 것입니다.




자, 이제 계산하기 편하게 하기 위해서
153명이 아니라 150명이고 모든 반이 30명이라고 하겠습니다.




a가 아무 반이나 한 반에 속할 확률은 100%입니다.
그렇지 않다면 그 학교 학생이 아닌 것입니다.




a의 친구 b가 a와 같은 반이 되고 싶어하는데 확률은 얼마일까요?
a가 속한 반이 b의 입장에서는 불특정한 다수의 반이 아니고
특정한 어떤 반이 되는 것입니다.




a가 있는 특정한 반은 이제 b가 들어갈 자리가 29자리 밖에 없습니다.
30자리라면 그 반은 31명이 되는 것이라서 말이 안 됩니다.




a를 제외한 149자리 중 29자리가 있는 a의 반에 b가 속할 확률은
29/149입니다. 결코 1/5이 아닙니다.




만약 1/5 이라고 생각하신다면?
그 a가 속한 반의 학생수는 수시로 변한다는 결론이 나옵니다.




a,b의 친구 c도 그 반에 들어가고 싶어합니다.




a가 아무나 반에 들어갈 확률 = 1 = 100%
b가 a의 반에 들어갈 확률  = 29/149 = 0.19463087




a,b가 같은 반이라고 확정됐거나 그럴 확률일 때,  c가 a,b와 같은 반이 될 확률은
28/148입니다.




a,b,c가 같은 반이 될 확률은 이렇게 됩니다.
1×(29/149)×(28/148) = 0.036822057






a가 있는 반에 29명의 같은 반이 되는 모든 경우의 수는?
nCr(149;29) = 6439757068098913406293247296880
a자신을 제외한 149명 중에서 29명을 고르는 것과 같습니다.




그 중 친구 b를 반드시 포함하는 경우의 수는?
a,b를 제외한 148명 중에서 28명을 고르는 것과 같습니다.
nCr(148;28) = 1253375536744083817332242762480




친구 b를 반드시 포함할 확률은?
nCr(148;28)/nCr(149;29) = 29/149 = 0.19463087




친구 b,c를 반드시 포함할 확률은?
nCr(147;27)/nCr(149;29) =  0.036822057




학생 a가 1반일 때, 2반일 때, 3반일 때를 모두 게산하지 않습니까?
라고 하실 수 있습니다.




여러 복잡한 과정을 거치지 않고, 바로 a의 입장에서 a가 149명 중
같은 반이 되는 학생들의 경우의 수 중에서 a,b,c 가 있는 경우만
생각하면 되기 때문입니다.




굳이 1반일 때부터 5반일 때까지 모두 계산해야 한다면?




a가 1반일 확률 30/150×
b가 1반일 확률 30/150×
c가 1반일 확률 30/150 =  ? ☜ 이렇게 계산하면 절대 안 됩니다.




a가 1반이라면 b가 1반이 될 확률은 29/149로 줄어들고,
a,b가 1반이라면 c가 1반이 될 확률은 28/148로 줄어듭니다.
자리가 이미 줄어들었기 때문입니다.




모두 다 확률이 1/5이라면 그 1반의 학생수는 수시로 변한다는
말이 되므로 오류가 있습니다.




그렇다면 b가 먼저 1반이 되고 다음에 c가 1반이 되고,
a가 다음에 1반이 되는 것도 계산해야 할까요?




(30/150)×(29/149)×(28/148)×3! = 0.04418647




×3!을 하는 것은 뽑는 순서를 각각 서로 다른 1가지로 따져서 계산하는 것입니다.
누구를 먼저 뽑고 누구를 나중에 뽑든 결과적으로 같은 반인 것은 마찬가지로 1가지 뿐이므로,
누굴 먼저 뽑았다는 것은 의미가 없습니다.




순서까지 계산한다는 것은 1가지 결론이 나올 확률을 계산하는 것이 아니라
순서를 다른 경우를 1가지 보기 때문에 3!(6가지)의 확률을 다 더한 것이므로
오류가 있습니다.




이제 a,b,c가 1반이 될 확률을 아래와 같이 구했습니다.
(30/150)×(29/149)×(28/148) =  0.007364411




1반부터 5반까지 될 확률의 합은 ×5를 해 주면 됩니다.
(30/150)×(29/149)×(28/148)×5 = 0.036822057




어, 그런데 저 위에서 계산한 값과 같습니다!




nCr(147;27)/nCr(149;29) =  0.036822057
1×(29/149)×(28/148) = 0.036822057




왜 같을까요? 두 식을 비교합니다.




식① 1×(29/149)×(28/148)
1×를 해서 어떤 반이나 들어갈 확률은 100%로 잡았고,




식② (30/150)×(29/149)×(28/148)×5
다섯 반 중 특정한 반에 들어갈 확률은 (30/150)로서 공평하고,
다섯 반마다 들어갈 확률 모두 다 더했으므로 (30/150)×5 = 1이 됩니다.




153명을 각각 31명,31명,31명,30명,30명으로 반의 학생수를 나눌 때도
그럴까요?




1반이 될 확률부터 5반이 될 확률까지 모두 더하면?




(31/153)×(30/152)×(29/151)+
(31/153)×(30/152)×(29/151)+
(31/153)×(30/152)×(29/151)+
(30/153)×(29/152)×(28/151)+
(30/153)×(29/152)×(28/151) = 0.036914208




이 때도 a가 아무 반에나 들어갈 확률은 100%입니다.




b,c가 a의 반에 들어갈 확률은 (30/152)×(29/151)일 때도 있고,
(29/152)×(28/151)때도 있습니다.




어느 반이나 30명인 경우에는 a가 아무나 반이 들어갈 확률을 100%로
잡고 b,c가 같은 반이 될 확률을 계산했는데, 그 이유는 언제나 확률이 일정하기 때문입니다.
a가 어느 반에나 각각 30/150으로서 공평하게 들어갈 수 있고, 30명은 전체 학생의 1/5이고
반도 5가지이므로 (1/5)×5 = 1이기 때문입니다.




a가 31명이 있는 반에 들어갈 확률은?
(31+31+31)/153 = 93/153




이때 b,c가 a반에 들어갈 확률은?




(93/153)×(30/152)×(29/151) = 0.02304041




a가 30명이 있는 반에 들어갈 확률은?
(30+30)/153 = 60/153




이때 b,c가 a반에 들어갈 확률은?




(60/153)×(29/152)×(28/151) = 0.01387380




a,b,c가 같은 반이 될 확률은?
(93/153)×(30/152)×(29/151)+
(60/153)×(29/152)×(28/151) = 0.036914208




위와 같이 계산합니다.




♡ a가 친구 b는 반드시 같은 반이 되고 싶고, 싫어하는 x는 같은 반이 되기 싫을 때
그렇게 될 확률은 얼마일까요?




한 반이 30명씩이고 모두 5반일 때 a의 소원대로 되는 경우의 수
nCr(150-3;30-2) = 1016250435197905797836953591200




150-3은 a자신은 계산 대상이 원래 아니며, x를 같은 반이 될 사람이 아니라서 계산에서 제외하고,
b는 같은 반이 되는 경우이기 때문에 계산에서 제외합니다.




a자신, x, c를 빼면 147명이 남고, 그 중 28명을 더 고르는 경우의 수를 구합니다.
29명이 아니고 28명인 이유는 친구 c가 이미 같은 반일 때 같은 반의 학생들이 바뀌는 경우를 구하기 때문입니다.




한 반이 30명씩이고 모두 5반일 때 a의 반에 같은 반이 되는 학생들을 뽑는 경우의 수
nCr(150-1;30-1) = 6439757068098913406293247296880




확률: nCr(150-3;30-2)/nCr(150-1;30-1) = 0.15780882




또는 아래와 같이 쉽게 계산할 수 있습니다.




1×(29/149)×( (148-28)/148 ) = 0.15780882
b가 같은 반이 될 확률 × x가 같은 반이 아닌 120자리(148-28)에 들어갈 확률




1반에서 a,b가 있는 반 외의 다른 반에서 학생들이 바뀌는 경우를 계산하지 되지 않나요?




nCr(148;28)×nCr(120;30)×nCr(90;30)×nCr(60;30)×nCr(30;30)
---------------------------------------------
nCr(150;30)×nCr(120;30)×nCr(90;30)×nCr(60;30)×nCr(30;30)




nCr(120;30)×nCr(90;30)×nCr(60;30)×nCr(30;30)가 공통되므로




nCr(148;28)
--------- ☜ 이렇게 됩니다.
nCr(150;30)




1반에서 150명 중 30명을 아무나 뽑을 때 a,b가 같은 반이 될 확률
(30/150)×(29/149) = 29/745 = 0.038926174
nCr(148;28)/nCr(150;30) = 29/745 = 0.038926174




결론적으로 a,b를 제외한 다른 학생 28명을 더 뽑는 경우의 수만 구하면 됩니다.




다섯 반의 경우를 모두 구해야 하니까 ×5를 해줍니다.
nCr(148;28)/nCr(150;30)×5 = 29/149




우연히 아래처럼 딱 맞아들어간 걸까요?
nCr(148;28)/nCr(150;30)×5 = 29/149
nCr(148;28)/nCr(149;29) = 29/149




특정한 반에서 반드시 a,b를 포함할 확률
a,b를 반드시 포함하므로 (n-2)명 중에서 (r-2)명을 선택하는 경우의 수만
구하면 됩니다.




(n-2)C(r-2)/ nCr




a가 있는 특정한 반에서 b가 포함할 확률
a를 반드시 포함하므로 더 뽑을 수 있는 사람은 (n-1)명이 남았고,
(n-1)명 중에서 b를 또 포함시켜야 하기 때문에 (n-1)-1명을 뽑는
경우의 수를 구해야 합니다.




(n-1)-1C(r-1)-1/ (n-1)C(r-1)




(n-2)C(r-2) = (n-1)-1C(r-1)-1




nCr = (n-1)C(r-1)/(r/n)
nCr = (n-1)C(r-1)×(n/r)
(r/n)은 특정한 대상이 뽑힐 확률




nCr(10;3)/nCr(9;2) = 10/3




10개 중에서 3개를 뽑을 때
특정한 x 를 빼고 9개 중에서 2개를 더 뽑는 경우의 수를 구하면
x가 뽑힐 확률을 구할 수 있습니다.




(3/10)×(2/9)×(1/8) = 10P3




x가 뽑힐 확률은 9P2 / 10P3
9P2 =  10P3 / (10/3) = 10P3×(3/10)




따라서 아래 서로 다른 계산법은
우연히 딱 맞아들어간 것이 절대 아닙니다.




nCr(148;28)/nCr(150;30)×5 = 29/149
nCr(148;28)/nCr(149;29) = 29/149




아래와 같은 원리가 있기 때문에 결코 우연히 딱 맞아들어간 것이
절대 아닙니다.




nCr = (n!/(n-r)!)/r!
(n-1)C(r-1) = ((n!/(n-r)!)/n)/(r!/r)




'n = 10, r = 3일 때'




(9×8×n)/(2!×r) = 120
(10×9×8/3!) = 120




'n = 10, r = 5일 때'




(9×8×7×6×n)/(4!×r) = 252
(10×9×8×7×6/5!) = 252